האלגברה הבסיסית המוכרת, הנלמדת בבתי הספר, עוסקת בביטויים ובנוסחאות של מספרים. לעומתה, האלגברה המכונה "מופשטת" חוקרת "מבנים אלגבריים", שהם קבוצות של עצמים כולל הפעולות שניתן לבצע עליהם בכפוף לחוקים מסוימים. דוגמה מוכרת למבנה אלגברי הנקרא שדה היא קבוצת המספרים הממשיים או המרוכבים עם פעולות חיבור וכפל. סוג מוכר במיוחד של מבנה אלגברי הוא ה"חבורה". תורת החבורות שראשיתה במאה התשע עשרה נחשבת כיום לאחת התורות החשובות בתחום המתמטיקה המודרנית. סוג נוסף של מבנה אלגברי מבין אלו שהמתמטיקה המופשטת עוסקת בהם הוא "אלגבראות". דוגמה לאלגברה היא אוסף הפונקציות מחבורה לשדה מספרים. אך דוגמה זו איננה אלגברה בלבד, ניתן להגדיר עליה פעולות וחוקים נוספים ההופכים אותה לאלגברת הופף. בתחילת דרכנו, כאשר חקרנו מבנים שאינם חבורות בהכרח, נוכחנו לדעת שקיים דמיון בין תופעות שונות הקשורות למבנים אלו. תחושת הבטן הייתה שיש קשר עמוק יותר בין תופעות אלו. ואכן כמו בסיפור בלשי טוב התברר שאת המבנים שחקרנו ניתן לאחד תחת קורת גג אחת והיא תורת אלגבראות הופף, הנקראת על שמו של המתמטיקאי הגרמני היינץ הופף (1971-1894). מה שמעניין במיוחד בתורה המתמטית של אלגבראות הופף הוא העובדה שהיא מאחדת רעיונות משטחים מדעיים שונים ופותחת אפיקי מחקר חדשים בפיזיקה, מדעי המחשב וביולוגיה, במיוחד בכל הקשור לתורת הקוונטים. הפיזיקאי זוכה מדליית פילדס ולדימיר דרינפלד כינה אותן "חבורות קוונטיות", ומאז מונחים אלה נחשבים לעתים לשמות נרדפים. מטרת המחקר שלנו היתה לפתח כלים חדשים על מנת לאפיין חלק מאלגבראות הופף. האפיון דרש הבנה של מושגים שבצורתם הגולמית דומים למושגים מתורת החבורות אך יש לעדן אותם בצורה ניכרת כדי להתאימם למצב הכללי יותר. למשל, בתורת החבורות קיימות תוצאות חשובות הקשורות למספר האיברים בחבורה. באלגבראות יש בדרך כלל מספר אינסופי של איברים אולם יש להן מאפיין כמותי נוסף, מספר ה"ממדים" שלהן (בדומה לשלושת הממדים המאפיינים את העולם היומיומי שבו אנו חיים). כמו כן, באלגבראות הופף בעלות ממד סופי קיים איבר מיוחד הנקרא "אינטגרל", והוא מקודד מידע חשוב על האלגברה. בעזרת מושגים אלו נתאר מספר דוגמאות של תוצאות שקיבלנו במחקרנו. א. בתורת החבורות בעלות מספר סופי של איברים מככבת טבלת ערכים מסוימת הנקראת "טבלת הקרקטרים" של החבורה. התבוננות בטבלה מספקת שפע של מידע על תכונות מופשטות רבות של החבורה. אנחנו פיתחנו טבלת קרקטרים מקבילה עבור אלגבראות הופף. באמצעות פרטי מידע חלקיים המוצגים בטבלה ניתן ללמוד רבות על המבנה של האלגברה ועל תכונותיה. ב. בתורת החבורות יש מקום מיוחד לתת חבורות שעליהן גם בנויה "אנליזה הרמונית" המקשרת בין קרקטרים של תת החבורה וקרקטרים של החבורה. המקבילה המועדפת באלגבראות הופף לתת חבורה היא תת אלגברה עם מבנה בלתי סימטרי הנקרא קואידיאל שמאלי. בעבודתנו פיתחנו אנליזה הרמונית המתאימה למצב זה. ג. בתורת החבורות קיים מושג חשוב של "נילפוטנטיות" המושתת על שרשרת של תת חבורות של חבורה נתונה. באמצעות האינטגרל של אלגברת הופף מממד סופי בנינו משפחה של איברים בתוכה. מסתבר שיש הבדל מהותי בין מצב שבו במשפחה יש מספר סופי של איברים, שאז יש לאלגברה תכונה המקבילה לנילפוטנטיות בחבורות, ובין מצב שהמשפחה אינסופית ואז האלגברה נעדרת תכונה זו. לחילופין בנינו טבלת ערכים המאפשרת באמצעות חישובים פשוטים להכריע אם האלגברה הנתונה היא אכן נילפוטנטית. ד. הראינו שקבוצה מובחנת של אלגבראות הופף הפופולרית מאוד ביישומים לתורת הקוונטים היא "כמעט" נילפוטנטית, מושג הדורש עיון גם בחבורות. לסיכום - אחת המסקנות שהגענו אליהן היא שהעבודה רק החלה ועדיין רב הנסתר על הנגלה.